9689. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром 1. Прямая l
проходит через середину E
ребра C_{1}D_{1}
и пересекает прямые AD_{1}
и A_{1}B
. Найдите расстояние от точки E
до точки пересечения прямой l
с прямой A_{1}B
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Рассмотрим плоскость диагонального сечения ABC_{1}D_{1}
. Прямая A_{1}B
пересекает эту плоскость в точке B
, а прямые BE
и AD_{1}
, лежащие в этой плоскости, пересекаются в некоторой точке P
. Следовательно, прямая PB
, проходящая через точку E
, и есть l
, т. е. пересекает прямые AD_{1}
и A_{1}B
.
Из прямоугольного треугольника BC_{1}E
находим, что
BE=\sqrt{C_{1}E^{2}+BC_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+2}=\frac{3}{2}.
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск). — 2008-2009, № 3, 11 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск, 2007—2010) / Сост. А. В. Адельшин, Е. Г. Кукина, И. А. Латыпов, С. В. Усов, И. А. Чернявская, А. В. Шаповалов, А. С. Штерн. — М.: МЦНМО, 2011. — № 141, с. 29