9692. Плоские углы при вершине D
треугольной пирамиды ABCD
равны по 60^{\circ}
. Точки P
, M
и K
— середины рёбер DA
, DB
и DC
соответственно. Найдите расстояние от точки M
до прямой PK
, если DA=2
, DB=4
, DC=3
.
Ответ. \frac{\sqrt{297}}{18}
.
Решение. Обозначим
\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}.
Тогда
\overrightarrow{a}^{2}=4,~\overrightarrow{b}^{2}=16,~\overrightarrow{c}^{2}=9,~\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\sin60^{\circ}=4,~\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=3,~\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=6.
Пусть H
— проекция точки M
на прямую PK
, а PH=xPK
. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{PH}=x\overrightarrow{PK}=x\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AC})=\frac{x}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}),
\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PH}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{x}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=
=-\frac{1}{2}((x-1)\overrightarrow{a}-(x-1)\overrightarrow{b}-x\overrightarrow{c}).
Прямые PH
и MH
перпендикулярны, поэтому \overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{MH}=0
, или
0=(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot((x-1)\overrightarrow{a}-(x-1)\overrightarrow{b}-x\overrightarrow{c})=
=(x-1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-(x-1)\overrightarrow{b}^{2}-x\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+
+(x-1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-(x-1)\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}-x\overrightarrow{c}^{2}-
-(x-1)\overrightarrow{a}^{2}+(x-1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=
=(x-1)(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})+x(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{c}^{2}-\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})=
=(x-1)(4-16+3-6-4+4)+x(3-9-6)=-15x+15-12x=-27x+15,
откуда x=\frac{5}{9}
. Значит,
\overrightarrow{MH}=-\frac{1}{2}((x-1)\overrightarrow{a}-(x-1)\overrightarrow{b}-x\overrightarrow{c})=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{9}\overrightarrow{a}+\frac{4}{9}\overrightarrow{b}-\frac{5}{9}\overrightarrow{c}\right).
Следовательно,
MH=\sqrt{\overrightarrow{MH}^{2}}=\frac{1}{18}\sqrt{(4\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c})^{2}}=
=\frac{1}{18}\sqrt{16\overrightarrow{a}^{2}+16\overrightarrow{b}^{2}+25\overrightarrow{c}^{2}-32\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+40\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-40\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}}=
=\frac{1}{18}\sqrt{16\cdot4+16\cdot16+25\cdot9-32\cdot4+40\cdot3-40\cdot6}=\frac{\sqrt{297}}{18}.