9693. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
с вершиной S
все рёбра равны 1. Точка E
— середина апофемы SF
, лежащей в грани ASB
. Найдите угол между прямой DE
и плоскостью ASC
.
Ответ. \arcsin\frac{5}{\sqrt{30}}
.
Решение. Первый способ. Пусть Q
— точка пересечения отрезков DF
и AC
. Тогда SQ
— прямая пересечения плоскостей ASC
и DSF
. Пусть прямые SQ
и DE
, лежащие в плоскости DSF
, пересекаются в точке P
. Тогда P
— точка пересечения прямой DE
с плоскостью ASC
.
Треугольники AQF
и CQD
подобны с коэффициентом \frac{AF}{CD}=\frac{1}{2}
, поэтому \frac{FQ}{QD}=\frac{AQ}{QC}=\frac{1}{2}
.
Рассмотрим треугольник DSF
. Через его вершину D
проведём прямую, параллельную FS
. Пусть эта прямая пересекает продолжение отрезка SQ
в точке K
. Треугольник DQK
подобен треугольнику SQF
с коэффициентом \frac{DQ}{QF}=2
, поэтому DK=2FS=4ES
. Треугольник DPK
подобен треугольнику EPS
с коэффициентом \frac{DK}{SE}=4
, поэтому DP=4EP
. Тогда DP=\frac{4}{5}DE
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
, M
— ортогональная проекция точки E
на прямую OF
. Тогда EM
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды. При этом EM
— средняя линия треугольника SOF
, EM=\frac{1}{2}SO=\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Пусть L
— середина стороны CD
. Тогда ML=\frac{3}{4}FL=\frac{3}{4}
. Из прямоугольных треугольников DML
и DME
находим, что
DM^{2}=DL^{2}+LM^{2}=\frac{1}{4}+\frac{9}{16}=\frac{13}{16},
DE=\sqrt{DM^{2}+EM^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}+\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}.
Тогда
DP=\frac{5}{4}DE=\frac{5}{4}\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{5}.
Поскольку DO
— перпендикуляр к плоскости ASC
, угол между прямой DE
и плоскостью ACS
, т. е. угол между наклонной DP
и её ортогональной проекцией OP
, — это угол DPO
. Из прямоугольного треугольника DPO
находим, что
\sin\angle DPO=\frac{DO}{DP}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{5}{\sqrt{30}}.
Второй способ. Прямая OD
перпендикулярна плоскости ASC
, поэтому \overrightarrow{OD}
— вектор нормали этой плоскости.
Обозначим
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{c}.
Тогда
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1,~
\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0,~\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{b}|\cdot|\overrightarrow{c}|\cos60^{\circ}=\frac{1}{2},
\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}),
\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}=-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}b+\frac{1}{2}\overrightarrow{c},
\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{OD}=\left(-\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}b+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)=
=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}^{2}-\frac{1}{8}\overrightarrow{b}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=
=-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}=-\frac{5}{8},
DE=|\overrightarrow{DE}|=\sqrt{\left(-\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}b+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\right)^{2}}=
=\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}+\frac{1}{16}\overrightarrow{b}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{c}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}}=
=\sqrt{1+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}-0-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}}=\frac{1}{4}\sqrt{16+1+4-8+2}=\frac{\sqrt{15}}{4},
OD=|\overrightarrow{OD}|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{1-0+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно, если искомый угол равен \varphi
, то
\sin\varphi=\left|\cos\varphi\right|=\left|\frac{\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{DE}|\cdot|\overrightarrow{OD}}\right|=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{30}}.