9715. Ребро куба ABCDA'B'C'D'
равно a
, P
— середина ребра B'C'
, точка Q
лежит на отрезке C'D
и C'Q=2DQ
. Найдите:
а) угол между прямой PQ
и плоскостью ABB'
;
б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку Q
перпендикулярно прямой B'D
.
Ответ. а) \arctg\frac{3\sqrt{2}}{8}
; б) \frac{2a^{2}\sqrt{3}}{9}
.
Решение. а) Плоскость ABB'
параллельна плоскости CDD'
, поэтому угол между прямой PQ
и плоскостью ABB'
равен углу между этой прямой и плоскостью CDD'
.
Прямая PC'
перпендикулярна плоскости CDD'
, поэтому C'D
— ортогональная проекция наклонной PQ
на эту плоскость, а C'QP
— угол между наклонной PQ
и плоскостью CDD'
. Следовательно,
\tg\angle C'QP=\frac{PC'}{C'Q}=\frac{PC'}{\frac{2}{3}C'D}=\frac{3}{2}\cdot\frac{PC'}{C'D}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\frac{a}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{3}{4\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{8}.
б) Плоскость \alpha
, проходящая через точку Q
перпендикулярно прямой B'D
, параллельна плоскости AD'C
, так как обе эти плоскости перпендикулярны диагонали B'D
куба. Значит, сечение куба плоскостью \alpha
есть треугольник KLM
, стороны которого соответственно параллельны сторонам равностороннего треугольника AD'C
со стороной a\sqrt{2}
, т. е. равносторонний треугольник, подобный треугольнику AD'C
с коэффициентом k=\frac{DQ}{DO}=\frac{2}{3}
, где O
— центр квадрата CDD'D
. Следовательно,
S_{\triangle KLM}=k^{2}S_{\triangle AD'C}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot\frac{(a\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{9}.