9716. Ребро правильного тетраэдра PABC
равно a
, M
— точка пересечения медиан грани PBC
. Найдите:
а) угол между прямой AM
и плоскостью PAC
;
б) площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M
перпендикулярно ребру AB
.
Ответ. а) \arcsin\frac{1}{3}
; б) \frac{a^{2}\sqrt{2}}{9}
.
Решение. а) Пусть E
— середина ребра PC
, N
— центр грани APC
, а высота грани тетраэдра равна h
. Опустим перпендикуляр MT
из точки M
на медиану AE
грани APC
. Тогда MT\parallel BN
, поэтому MT
— перпендикуляр к плоскости APC
. Значит, угол между прямой AM
и плоскостью PAC
, это угол MAT
. Кроме того, BN=BM=h
— высоты тетраэдра.
Из подобия прямоугольных треугольников MTE
и BNE
получаем, что
MT=BN\cdot\frac{ME}{BE}=BN\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}h.
Следовательно,
\sin\angle MAT=\frac{MT}{BN}=\frac{\frac{1}{3}h}{h}=\frac{1}{3}.
б) Пусть K
— середина ребра AB
, H
— центр грани ABC
. Плоскость \alpha
, проходящая через точку M
перпендикулярно прямой AB
, параллельна плоскости CPK
, так как обе эти плоскости перпендикулярны ребру AB
. Значит, сечение куба плоскостью \alpha
есть треугольник XYZ
с вершинами на рёбрах BC
, BP
и AB
соответственно, стороны которого соответственно параллельны сторонам CP
, KP
и CK
треугольника CPK
. Треугольник XYZ
подобен треугольнику CPK
с коэффициентом k=\frac{BX}{BC}=\frac{BM}{BE}=\frac{2}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle XYZ}=k^{2}S_{\triangle CPK}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}CK\cdot PH=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{2}\sqrt{2}}{9}.