9720. В тетраэдре ABCD
проведены высоты BE
и CF
. Плоскость \alpha
перпендикулярна ребру AD
и проходит через его середину. Известно, что точки A
, C
, D
и E
лежат на одной окружности и точки A
, B
, D
и F
также лежат на одной окружности. Докажите, что расстояния от точек E
и F
до плоскости \alpha
равны.
Решение. Прямая CF
перпендикулярна плоскости ABD
, поэтому CF\perp AD
. Аналогично, BE\perp AD
. Поэтому прямые CF
и BE
параллельны плоскости \alpha
или лежат в ней. Точки B
, C
, E
и F
лежат на сфере \omega
, описанной около тетраэдра ABCD
. Также, поскольку \angle BEC=90^{\circ}=\angle BFC
, точки B
, C
, E
и F
лежат на сфере \omega'
, построенной на отрезке BC
как на диаметре.
Если сферы \omega
и \omega'
не совпадают, все их общие точки лежат в одной плоскости, обозначим её через \beta
. В плоскости \beta
лежат прямые BE
и CF
, каждая из которых параллельна плоскости \alpha
или лежит в этой плоскости. Также прямые BE
и CF
не параллельны, поскольку они перпендикулярны пересекающимся плоскостям ACD
и ABD
. Таким образом, плоскость \beta
параллельна плоскости \alpha
или совпадает с ней, а расстояния от точек E
и F
до \alpha
равны расстоянию между плоскостями \alpha
и \beta
.
Если же сферы \omega
и \omega'
совпадают, то их общий центр M
является серединой отрезка BC
и лежит в плоскости \alpha
. Следовательно, расстояния от точек B
и C
до плоскости \alpha
равны. Поскольку прямая BE
параллельна плоскости \alpha
, расстояния от точек B
и E
до этой плоскости равны. Аналогично, расстояния от точек C
и F
до плоскости \alpha
тоже равны, а тогда точки E
и F
равноудалены от этой плоскости.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, региональный тур, № 5, 11 класс