9722. Развёртка боковой поверхности усечённого конуса с образующей, равной 12, представляет собой часть кругового кольца с центральным углом \frac{2\pi}{3}
. Найдите радиусы оснований этого усечённого конуса, если площадь его поверхности равна площади полного кругового кольца.
Ответ. 14+2\sqrt{35}
, 10+2\sqrt{35}
.
Решение. Пусть радиусы большего и меньшего оснований равны R
и r
соответственно, l=12
— длина образующей данного усечённого конуса, x
— длина продолжения образующей до целого конуса. Поскольку угол в развёртке целого конуса равен \frac{2\pi}{3}
, т. е. третьей части угловой дуги всей окружности, то \frac{1}{3}\cdot2\pi x=2\pi r
. Откуда x=3r
.
Площади боковой поверхности целого и добавленного конусов равны \pi R(l+x)
и \pi rx
соответственно. Значит, площадь боковой поверхности данного усечённого конуса равна \pi R(x+l)-\pi rx
.
Из подобия треугольников в осевом сечении получаем \frac{r}{R}=\frac{R}{x+l}
, а из равенства длины окружности меньшего основания и меньшей дуги части кругового кольца следует, что \frac{1}{3}\cdot2\pi x=2\pi r
. Откуда x=3r
. Подставив l=12
и x=3r
в равенство \frac{r}{R}=\frac{R}{x+l}
, получим, что R=r+4
.
Равенство данных в условии площадей даёт уравнение
\pi R(l+x)-\pi rx+\pi R^{2}+\pi r^{2}=\pi(x+l)^{2}-\pi x^{2},~\mbox{или}~
(r+4)(12+3r)-3r^{2}+(r+4)^{2}+r^{2}=(3r+12)^{2}-9r^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~3r^{2}+24r+48-3r^{2}+r^{2}+8r+16+r^{2}=9r^{2}+72r+144-9r^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2r^{2}-40r-80=0~\Leftrightarrow~r^{2}-20r-40=0.
откуда находим положительный корень r=10+2\sqrt{35}
. Тогда R=14+2\sqrt{35}
.