9724. В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в 2 раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол 45^{\circ}
с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаков после запятой.
Ответ. 0,56 (точное значение \frac{5}{9}
).
Решение. Обозначим искомую величину двугранного угла через \alpha
. Пусть r
— радиус меньшего шара, O_{1}
— его центр, M
— точка касания с гранью данного двугранного угла, O_{2}
— центр второго шара радиуса 2r
, N
— точка его касания с той же гранью двугранного угла. Прямая O_{1}O_{2}
и ребро двугранного угла лежат в одной плоскости — биссекторной плоскости данного двугранного угла. Эти две прямые не параллельны, так как радиусы шаров различны, значит, прямая OO_{1}
пересекает ребро двугранного угла в некоторой точке C
.
Опустим перпендикуляры MA
и NB
из точек M
и N
на ребро двугранного угла. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что \angle MAO_{1}=\angle NBO_{2}=\frac{\alpha}{2}
.
Рассмотрим сечение шаров плоскостью, проходящей через параллельные прямые O_{1}M
и O_{2}N
. Получим касающиеся окружности радиусов r
и 2r
и их общую касательную MN
, а так как O_{1}M
— средняя линия треугольника CNO_{2}
, то
CO_{1}=O_{1}O_{2}=r+2r=3r.
По условию задачи \angle ACO_{1}=45^{\circ}
, поэтому
AO_{1}=CO_{1}\sin\angle ACO_{1}=3r\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3r\sqrt{2}}{2}.
Значит,
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{O_{1}M}{AO_{1}}=\frac{r}{\frac{3r\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Следовательно,
\cos\alpha=1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-2\cdot\frac{2}{9}=\frac{5}{9}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2017, отборочный этап, 2 тур, № 7
Источник: Журнал «Квант». — 2017, № 4, с. 52