9726. Дана треугольная пирамида SABC
, в которой SC=SB=AC=AB=\sqrt{31}
, BC=SA=2\sqrt{7}
.
а) Докажите, что ребро SA
перпендикулярно ребру BC
.
б) Найдите расстояние между прямыми BC
и SA
.
Ответ. \sqrt{17}
.
Решение. а) Пусть SH
— высота пирамиды. Наклонные SB
и SC
на плоскость ABC
равны, поэтому равны их ортогональные проекции на эту плоскость, т. е. HB=HC
. Точка H
равноудалена от концов основания BC
равнобедренного треугольника ABC
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре, а значит, на высоте AM
этого треугольника. Прямая AH
— ортогональная проекция наклонной SA
на плоскость ABC
. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах SA\perp BC
.
б) Равнобедренные треугольники ABC
и SBC
равны по трём сторонам, значит, равны их высоты, опущенные на общее основание BC
. Пусть MN
— высота равнобедренного треугольника AMS
. Прямая BC
перпендикулярна плоскости SAM
, так как эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым SM
и AM
этой плоскости. Значит, MN\perp BC
. Следовательно, MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SA
и BC
, а расстояние между этими прямыми равно длине отрезка MN
.
Из равнобедренных треугольников BSC
и SAM
находим, что
SM^{2}=SB^{2}-MB^{2}=31-7=24,~MN^{2}=SM^{2}-SN^{2}=24-7=17.
Следовательно, MN=\sqrt{17}
.