9734. Даны две одинаковые правильные четырёхугольные пирамиды, в которых высота вдвое больше стороны основания. В первую пирамиду вписан шар, а второй шар касается плоскости основания и всех боковых рёбер второй пирамиды. Найдите отношение радиуса второго шара к радиусу первого.
Ответ. \frac{\sqrt{17}+1}{4}
.
Решение. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду SABCD
с вершиной S
и высотой SH
. Положим AB=a
, SH=2a
. Пусть радиус шара с центром I
, вписанного в пирамиду, равен r
, а радиус шара с центром O
, касающегося плоскости основания и всех боковых рёбер, равен R
.
Пусть M
и N
— середины рёбер BC
и AD
. Сечение пирамиды плоскостью MSN
— равнобедренный треугольник MSN
, в который вписана окружность радиуса r
с центром I
. Эта окружность касается основания MN
в точке H
, а боковой стороны SM
— в некоторой точке P
. Поскольку \angle SIP=\angle SMH
, прямоугольные треугольники SIP
и SMH
подобны, поэтому \frac{IP}{SI}=\frac{MH}{SM}
, или
\frac{r}{2a-r}=\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{4a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}},~\frac{r}{2a-r}=\frac{1}{\sqrt{17}}.
Отсюда находим, что r=\frac{2a}{\sqrt{17}+1}
.
Сечение пирамиды плоскостью ASC
— равнобедренный треугольник ASC
, в который вписана окружность радиуса R
с центром O
. Эта окружность касается основания MN
в точке H
, а боковой стороны SA
— в некоторой точке Q
. Поскольку \angle SOQ=\angle SAH
, прямоугольные треугольники SOQ
и SAH
подобны, поэтому \frac{OQ}{SO}=\frac{AH}{SA}
, или
\frac{R}{2a-R}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\sqrt{4a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}},~\frac{R}{2a-R}=\frac{1}{3}.
Отсюда находим, что R=\frac{a}{2}
.
Следовательно,
\frac{R}{r}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{2a}{\sqrt{17}+1}}=\frac{\sqrt{17}+1}{4}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2018, филиал, вариант Ф31, задача 8