9747. Докажите, что площадь треугольного сечения тетраэдра не больше площади хотя бы одной его грани.
Решение. Лемма. На одной из двух скрещивающихся прямых лежат точки A
, B
и C
, причём B
между A
и C
. Точки A'
, B'
и C'
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A
, B
и C
на вторую прямую. Тогда BB'
не больше наибольшего из отрезков AA'
и CC'
.
Доказательство. Пусть a
и b
— скрещивающиеся прямые; точки A
, B
и C
лежат на прямой a
; AA''
, BB''
и CC''
— перпендикуляры к плоскости, проходящей через прямую b
параллельно a
; A''A'
, B''B'
и C''C'
— перпендикуляры к прямой b
.
По теореме о трёх перпендикулярах AA'
, BB'
и CC'
— перпендикуляры к прямой b
. Ясно, что точка B'
лежит между A'
и C'
и при этом B'B''
не больше наибольшего из отрезков A''A'
и C''C'
. У прямоугольных треугольников AA''A'
, BB''B'
и CC''C'
равные катеты AA''
, BB''
и CC''
, катет B''B'
треугольника BB''B'
не больше наибольшего из катетов A''A'
и C''C'
. Следовательно, гипотенуза BB'
треугольника BB''B'
не больше наибольшей из гипотенуз AA'
и CC'
. Лемма доказана.
Пусть теперь треугольник MNK
— сечение тетраэдра ABCD
, причём точки K
, L
и M
лежат на рёбрах AC
, AD
и AB
соответственно и не совпадают с вершинами тетраэдра.Тогда по лемме для скрещивающихся прямых AC
и MN
перпендикуляр, опущенный из точки K
на прямую MN
не больше одного из перпендикуляров, опущенных на MN
из вершин A
и C
. Значит, либо S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNA}
, либо S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNC}
.
В первом случае
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNA}\lt S_{\triangle ABD},
а во втором получаем, что либо
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNC}\lt S_{\triangle AMC}\lt S_{\triangle ABC},
либо
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNC}\lt S_{\triangle MDC},
а так как S_{\triangle MDC}\lt S_{\triangle ADC}
или S_{\triangle MDC}\lt S_{\triangle BDC}
, то в любом случае площадь сечения KLM
не больше площади какой-то грани тетраэдра ABCD
.
Примечание. Аналогичное утверждение верно и для сечения тетраэдра, являющееся четырёхугольником. См. статью Б.Каневского и Э.Линденштрауса «Площадь сечения тетраэдра», Квант, 2004, N6, с.31, 34-36.
Источник: Журнал «Квант». — 2004, № 6, с. 31, 34