9747. Докажите, что площадь треугольного сечения тетраэдра не больше площади хотя бы одной его грани.
Решение. Лемма. На одной из двух скрещивающихся прямых лежат точки
A
,
B
и
C
, причём
B
между
A
и
C
. Точки
A'
,
B'
и
C'
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно
A
,
B
и
C
на вторую прямую. Тогда
BB'
не больше наибольшего из отрезков
AA'
и
CC'
.
Доказательство. Пусть
a
и
b
— скрещивающиеся прямые; точки
A
,
B
и
C
лежат на прямой
a
;
AA''
,
BB''
и
CC''
— перпендикуляры к плоскости, проходящей через прямую
b
параллельно
a
;
A''A'
,
B''B'
и
C''C'
— перпендикуляры к прямой
b
.
По теореме о трёх перпендикулярах
AA'
,
BB'
и
CC'
— перпендикуляры к прямой
b
. Ясно, что точка
B'
лежит между
A'
и
C'
и при этом
B'B''
не больше наибольшего из отрезков
A''A'
и
C''C'
. У прямоугольных треугольников
AA''A'
,
BB''B'
и
CC''C'
равные катеты
AA''
,
BB''
и
CC''
, катет
B''B'
треугольника
BB''B'
не больше наибольшего из катетов
A''A'
и
C''C'
. Следовательно, гипотенуза
BB'
треугольника
BB''B'
не больше наибольшей из гипотенуз
AA'
и
CC'
. Лемма доказана.
Пусть теперь треугольник
MNK
— сечение тетраэдра
ABCD
, причём точки
K
,
L
и
M
лежат на рёбрах
AC
,
AD
и
AB
соответственно и не совпадают с вершинами тетраэдра.Тогда по лемме для скрещивающихся прямых
AC
и
MN
перпендикуляр, опущенный из точки
K
на прямую
MN
не больше одного из перпендикуляров, опущенных на
MN
из вершин
A
и
C
. Значит, либо
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNA}
, либо
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNC}
.
В первом случае
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNA}\lt S_{\triangle ABD},

а во втором получаем, что либо
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNC}\lt S_{\triangle AMC}\lt S_{\triangle ABC},

либо
S_{\triangle MNK}\lt S_{\triangle MNC}\lt S_{\triangle MDC},

а так как
S_{\triangle MDC}\lt S_{\triangle ADC}
или
S_{\triangle MDC}\lt S_{\triangle BDC}
, то в любом случае площадь сечения
KLM
не больше площади какой-то грани тетраэдра
ABCD
.
Примечание. Аналогичное утверждение верно и для сечения тетраэдра, являющееся четырёхугольником. См. статью Б.Каневского и Э.Линденштрауса «Площадь сечения тетраэдра», Квант, 2004, N6, с.31, 34-36.