9749. В параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
углы между рёбрами AB
, AD
, AA_{1}
равны, длина каждого из этих рёбер равна 2. Найдите полную поверхность параллелепипеда, если AC_{1}=\sqrt{\frac{15}{7}}BD_{1}
.
Ответ. 16\sqrt{2}
.
Решение. Положим
\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AA_{1}},
через \varphi
обозначим величину угла между указанными рёбрами. Тогда
\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},~\overrightarrow{BD_{1}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},
|\overrightarrow{AC_{1}}|^{2}=\overrightarrow{AC_{1}}^{2}=3|\overrightarrow{a}|^{2}+6\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=3|\overrightarrow{a}|^{2}(1+2\cos\varphi),
|\overrightarrow{BD_{1}}|^{2}=\overrightarrow{BD_{1}}^{2}=3|\overrightarrow{a}|^{2}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|^{2}(3-2\cos\varphi),
По условию задачи
\frac{|\overrightarrow{AC_{1}}|^{2}}{|\overrightarrow{BD_{1}}|^{2}}=\frac{15}{7},~\mbox{или}~\frac{3(1+2\cos\varphi)}{3-2\cos\varphi}=\frac{15}{7}.
Из этого уравнения находим, что \cos\varphi=\frac{1}{3}
. Тогда \sin\varphi=\frac{2\sqrt{2}}{3}
. Все шесть граней данного параллелепипеда — равные ромбы со стороной 2 и острым углом \varphi
, следовательно, полная поверхность параллелепипеда равна
6\cdot2\cdot2\cdot\sin\varphi=24\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=16\sqrt{2}.