9753. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD
с вершиной S
равны 18. Основание O
высоты SO
этой пирамиды является серединой отрезка SS_{1}
, M
— середина ребра SB
, точка L
лежит на ребре CD
так, что CL:LD=7:2
.
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD
плоскостью S_{1}LM
— равнобедренная трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Ответ. \frac{23}{2}
.
Решение. а) Проведём медиану S_{1}M
треугольника SS_{1}B
, которая пересекает медиану BB_{1}
основания BCD
в точке T
. Тогда BT:TB_{1}=4:5
, поскольку BO
также является медианой треугольника SS_{1}B
. Точка L
, в свою очередь, делит отрезок DB_{1}
в отношении DL:LB_{1}=4:5
, так как LD:LC=2:7
и отрезок BB_{1}
— медиана треугольника BCD
. Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L
и T
, параллельна стороне BD
основания BCD
.
Пусть прямая LT
пересекает BC
в точке P
. Проведём через точку M
среднюю линию треугольника SBD
. Пусть она пересекает сторону SD
в точке K
. Тогда PMKL
— искомое сечение, причём BP=DL
и BM=KD
. Из равенства треугольников BMP
и DKL
получим, что PM=KL
, а так как
KM=\frac{1}{2}BD=9\lt14=\frac{14}{18}\cdot BD\lt BD,
то PMKL
— равнобедренная трапеция.
б) Большее основание PL
трапеции равно 14, основание MK
равно 9. Следовательно, средняя линия трапеции равна
\frac{PL+MK}{2}=\frac{14+9}{2}=\frac{23}{2}.