9755. (Теорема о трёх синусах.) В одной грани двугранного угла величиной \alpha
проведена прямая, составляющая с ребром этого угла угол, равный \beta
, а с другой гранью — угол, равный \gamma
. Докажите, что \sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta
.
Решение. Пусть точка D
лежит на ребре данного двугранного угла, прямая DA
лежит в одной грани этого угла, B
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на ребро двугранного угла, C
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на другую грань. Тогда \angle ABC=\alpha
— линейный угол двугранного угла, \angle ADC=\gamma
— угол между прямой AD
и плоскостью грани CBD
, \angle ADB=\beta
— угол между прямой AD
и ребром двугранного угла.
Обозначим AD=x
. Из прямоугольных треугольников ABD
, ABC
и ACD
получаем, что
AB=x\sin\beta,~AC=AB\sin\gamma=x\sin\beta\sin\alpha,~AC=AD\sin\gamma=x\sin\gamma.
Из равенства
x\sin\beta\sin\alpha=x\sin\gamma
следует, что
\sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.Г.Габовича «Теорема о трёх синусах», Квант, 1989, N9, с.71