9760. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
сторона основания AB=4
, а боковое ребро SA=7
. На рёбрах AB
и SB
отмечены точки M
и K
соответственно, причём AM=SK=1
.
а) Докажите, что плоскость CKM
перпендикулярна плоскости ABC
.
б) Найдите объём пирамиды BCKM
.
Ответ. \frac{12\sqrt{41}}{7}
.
Решение. а) Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Через точку B
параллельно диагонали AC
проведём прямую, пересекающуюся с прямой BD
в точке L
, а с прямой CM
— в точке N
. Из подобия треугольников AMC
и BMN
получаем, что BN=3AC
, а из подобия треугольников CLO
и NLB
—
\frac{BL}{LO}=\frac{BN}{CO}=\frac{3AC}{\frac{1}{2}AC}=6,
а так как и \frac{BK}{KS}=6
, то KL\parallel SO
. Значит, KL
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей плоскости CKM
и ABC
перпендикулярны.
б) Прямоугольный треугольник KBL
подобен треугольнику SBO
с коэффициентом \frac{6}{7}
, поэтому
KL=\frac{6}{7}SO=\frac{6}{7}\sqrt{49-(2\sqrt{2})^{2}}=\frac{6}{7}\sqrt{41},
при этом KL
— высота пирамиды BCKM
.
Площадь треугольника BCM
составляет \frac{3}{4}
площади треугольника ABC
, значит,
S_{\triangle BCM}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{3}{8}\cdot16=6.
Следовательно,
V_{BCKM}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCM}\cdot KL=\frac{1}{3}\cdot6\cdot\frac{6}{7}\sqrt{41}=\frac{12\sqrt{41}}{7}.