9761. В правильной треугольной пирамиде
SABC
сторона основания
AB=9
, боковое ребро
SA=\sqrt{43}
, точки
M
и
K
лежат на рёбрах
AB
и
SB
, причём
AM=8
и
SK:KB=7:3
. Плоскость
\alpha
проходит через точки
M
и
K
и перпендикулярна плоскости
ABC
.
а) Докажите, что точка
C
принадлежит плоскости
\alpha
.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью
\alpha
.
Ответ.
\frac{3\sqrt{73}}{5}
.
Решение. а) Пусть
O
— центр равностороннего треугольника
ABC
,
K_{1}
— ортогональная проекция точки
K
на плоскость основания. Тогда точка
K_{1}
лежит на отрезке
OB
, а так как
KK_{1}\parallel SO
, то
\frac{OK_{1}}{K_{1}B}=\frac{SK}{KB}=\frac{7}{3}
. Точка
O
делит медиану
BN
равностороннего треугольника
ABC
в отношении
\frac{BO}{ON}=2
, поэтому
\frac{BK_{1}}{K_{1}N}=\frac{BK_{1}}{K_{1}O+ON}=\frac{3}{7+5}=\frac{1}{4}.

Плоскость
\alpha'
, проходящая через точки
M
,
K
и прямую
KK_{1}
, перпендикулярную плоскости
ABC
, перпендикулярна плоскости
ABC
по признаку перпендикулярности плоскостей. Значит, плоскость
\alpha'
совпадает с
\alpha
.
Через точку
B
проведём прямую
l
, параллельную
AC
. Пусть прямая
K_{1}M
пересекается с прямой
l
в точке
L
, а с прямой
AC
— в точке
C'
. Из подобия треугольников
BML
и
AMC'
получим, что
BL=AC'\cdot\frac{BM}{AM}=\frac{1}{8}BL
, а из подобия треугольников
BK_{1}L
и
NK_{1}'C
BL=NC'\cdot\frac{BK_{1}}{K_{1}N}=\frac{1}{4}NC'
. Значит,
NC'=\frac{1}{2}NC
, т. е.
AC'=2AN=AC
. Тогда точка
C'
совпадает с
C
, и прямая
MK'
проходит через точку
C
. Следовательно, точка
C
лежит в плоскости
\alpha
.
б) Отрезок
AO
равен двум третям высоты равностороннего треугольника
ABC
со стороной 9, т. е.
AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Из прямоугольного треугольника
AOS
находим, что
SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\sqrt{43-27}=4.

Треугольник
BKK_{1}
подобен треугольнику
BSO
с коэффициентом
\frac{BK}{BC}=\frac{3}{10}
, поэтому
KK_{1}=\frac{3}{10}SO=\frac{3}{10}\cdot4=\frac{6}{5}.

По теореме косинусов
CM=\sqrt{BM^{2}+BC^{2}-2BM\cdot BC\cos60^{\circ}}=\sqrt{1^{2}+81^{2}-2\cdot1\cdot9\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{73}.

Следовательно,
S_{\triangle MKC}=\frac{1}{2}CM\cdot KK_{1}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{73}\cdot\frac{6}{5}=\frac{3\sqrt{73}}{5}.

Источник: ЕГЭ. — 2020, июль, задача 14