9761. В правильной треугольной пирамиде SABC
сторона основания AB=9
, боковое ребро SA=\sqrt{43}
, точки M
и K
лежат на рёбрах AB
и SB
, причём AM=8
и SK:KB=7:3
. Плоскость \alpha
проходит через точки M
и K
и перпендикулярна плоскости ABC
.
а) Докажите, что точка C
принадлежит плоскости \alpha
.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \alpha
.
Ответ. \frac{3\sqrt{73}}{5}
.
Решение. а) Пусть O
— центр равностороннего треугольника ABC
, K_{1}
— ортогональная проекция точки K
на плоскость основания. Тогда точка K_{1}
лежит на отрезке OB
, а так как KK_{1}\parallel SO
, то \frac{OK_{1}}{K_{1}B}=\frac{SK}{KB}=\frac{7}{3}
. Точка O
делит медиану BN
равностороннего треугольника ABC
в отношении \frac{BO}{ON}=2
, поэтому
\frac{BK_{1}}{K_{1}N}=\frac{BK_{1}}{K_{1}O+ON}=\frac{3}{7+5}=\frac{1}{4}.
Плоскость \alpha'
, проходящая через точки M
, K
и прямую KK_{1}
, перпендикулярную плоскости ABC
, перпендикулярна плоскости ABC
по признаку перпендикулярности плоскостей. Значит, плоскость \alpha'
совпадает с \alpha
.
Через точку B
проведём прямую l
, параллельную AC
. Пусть прямая K_{1}M
пересекается с прямой l
в точке L
, а с прямой AC
— в точке C'
. Из подобия треугольников BML
и AMC'
получим, что BL=AC'\cdot\frac{BM}{AM}=\frac{1}{8}BL
, а из подобия треугольников BK_{1}L
и NK_{1}'C
— BL=NC'\cdot\frac{BK_{1}}{K_{1}N}=\frac{1}{4}NC'
. Значит, NC'=\frac{1}{2}NC
, т. е. AC'=2AN=AC
. Тогда точка C'
совпадает с C
, и прямая MK'
проходит через точку C
. Следовательно, точка C
лежит в плоскости \alpha
.
б) Отрезок AO
равен двум третям высоты равностороннего треугольника ABC
со стороной 9, т. е.
AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника AOS
находим, что
SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\sqrt{43-27}=4.
Треугольник BKK_{1}
подобен треугольнику BSO
с коэффициентом \frac{BK}{BC}=\frac{3}{10}
, поэтому
KK_{1}=\frac{3}{10}SO=\frac{3}{10}\cdot4=\frac{6}{5}.
По теореме косинусов
CM=\sqrt{BM^{2}+BC^{2}-2BM\cdot BC\cos60^{\circ}}=\sqrt{1^{2}+81^{2}-2\cdot1\cdot9\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{73}.
Следовательно,
S_{\triangle MKC}=\frac{1}{2}CM\cdot KK_{1}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{73}\cdot\frac{6}{5}=\frac{3\sqrt{73}}{5}.