9762. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
сторона AB
основания равна 4, а боковое ребро SA
равно 7. На рёбрах CD
и SC
отмечены точки N
и K
соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3
. Плоскость \alpha
содержит прямую KN
и параллельна прямой BC
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
параллельна прямой SA
.
б) Найдите угол между плоскостями \alpha
и SBC
.
Ответ. \arccos\frac{37}{45}=2\arcsin\frac{2\sqrt{5}}{15}
.
Решение. а) Плоскость ABC
проходит через прямую BC
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с плоскостью \alpha
общую точку N
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку N
параллельно BC
. Пусть эта прямая пересекает ребро AB
в точке M
. Тогда AM:MB=DN:NC=1:3
. Аналогично, плоскости BSC
и \alpha
пересекаются по прямой, параллельной BC
. Эта прямая пересекает ребро SB
в точке L
, для которой SL:LB=SK:KC=1:3
. Тогда SL:LB=AM:MB
, поэтому SA\parallel ML
. Прямая SA
параллельна прямой ML
, лежащей в плоскости \alpha
, следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости плоскость \alpha
параллельна прямой SA
.
б) Пусть E
и F
— середины рёбер AD
и BC
соответственно, а P
и Q
— середины отрезков KL
и MN
соответственно. Тогда PF\perp KL
и PQ\perp KL
, значит, QPF
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \alpha
и SBC
. Поскольку PQ\parallel SE
, этот угол равен углу ESF
, т. е. углу при вершине S
равнобедренного треугольника ESF
.
Из прямоугольного треугольника AES
находим что
SF=\sqrt{SA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{7^{2}-2^{2}}=\sqrt{45}.
Следовательно,
\cos\angle QPF=\cos\angle ESF=\frac{SE^{2}+SF^{2}-EF^{2}}{2SE\cdot SF}=\frac{45+45-16}{2\cdot45}=\frac{74}{2\cdot45}=\frac{37}{45}.