9764. Через точку, находящуюся на расстоянии a
от центра параллелограмма, проведена плоскость. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до этой плоскости не превосходит 4a
. Плоскость не пересекает параллелограмм.
Решение. Пусть M
— данная точка, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— ортогональная проекция параллелограмма ABCD
на плоскость, проведённую через точку M
, O_{1}
— ортогональная проекция на эту плоскость центра O
параллелограмма ABCD
.
Точка O
— середина отрезка AC
, поэтому O_{1}
— середина A_{1}C_{1}
(по свойству параллельных проекций). Аналогично, O_{1}
— середина отрезка B_{1}D_{1}
. Тогда OO_{1}
— общая средняя линия трапеций AA_{1}C_{1}C
и BB_{1}D_{1}D
. Значит,
AA_{1}+CC_{1}=2OO_{1},~BB_{1}+DD_{1}=2OO_{1},
следовательно,
QQ_{1}+BB_{1}+CC_{1}+DD_{1}=4OO_{1}\leqslant OM=4a,
так как перпендикуляр OO_{1}
к проведённой плоскости не больше OM=a
.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2003, № 298, с. 78, 11 класс, задача 3