9765. Могут ли четыре диагонали параллелепипеда (не обязательно прямоугольного) иметь длины 2, 3, 5 и 11?
Ответ. Нет, не могут.
Решение. Первый способ. Пусть стороны параллелепипеда OABCO_{1}A_{1}B_{1}C_{1}
задаются векторами
\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},~\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OO_{1}},~\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}.
Тогда диагонали параллелепипеда задаются векторами
\overrightarrow{B_{1}O}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c},~\overrightarrow{O_{1}B}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},
\overrightarrow{AC_{1}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},~\overrightarrow{CA_{1}}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}.
Тогда
\overrightarrow{B_{1}O}+\overrightarrow{O_{1}B}+\overrightarrow{AC_{1}}+\overrightarrow{CA_{1}}=\overrightarrow{0}.
Пусть при этом
|\overrightarrow{BO_{1}}|=2,~|\overrightarrow{O_{1}B}|=3,~|\overrightarrow{AC_{1}}|=5,~|\overrightarrow{CA_{1}}|=11.
Сумма четырёх векторов равна нулю. Значит, по неравенству треугольника ни один из них не может быть длиннее, чем сумма длин остальных трёх, а из условию задачи следует, что
|\overrightarrow{BO_{1}}|+|\overrightarrow{O_{1}B}|+|\overrightarrow{AC_{1}}|=2+3+5=10\lt11=|\overrightarrow{CA_{1}}|.
Второй способ. В параллелепипеде общего вида четыре различных диагонали. На рисунке показаны четыре копии параллелепипеда и отмечено по одной диагонали каждого вида. Получился пространственный четырёхугольник. Отсюда следует, что длины p
, q
, r
, s
этих диагоналей (при записи в любом порядке) удовлетворяют обобщённому неравенству треугольника p+q+r\geqslant s
. Но для заданных чисел одно из таких неравенств неверно: 2+3+5\lt11
.
Автор: Петров Ф. В.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2014, первый тур, 11 класс