9774. Пусть ABCD
— тетраэдр, \omega
— сфера, касающаяся всех его рёбер. Две точки касания сферы \omega
с рёбрами тетраэдра соединим отрезками тогда и только тогда, когда они лежат на одной грани тетраэдра. Докажите, что сумма этих отрезков меньше, чем 3(AI+BI+CI+DI)
, где I
— центр сферы \omega
.
Решение. Пусть сфера \omega
касается рёбер AB
, AC
и AD
в точках K
, L
и M
. Тогда
\angle AKI=\angle ALI=\angle AMI=90^{\circ}.
Значит, точки K
, L
и M
лежат на окружности с диаметром AI
. По крайней мере одна из хорд KL
, KM
и ML
этой сферы не является её диаметром (в противном случае все они проходили бы через центр сферы), следовательно,
KL+KM+ML\lt3AI.
Аналогично для трёх остальных вершин тетраэдра. Сложив три таких неравенства, получим требуемое.