9777. В четырёхугольной пирамиде SABCD
с основанием ABCD
площади всех боковых граней равны. Некоторая плоскость пересекает рёбра SA
, SB
, SC
и SD
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
соответственно, причём у пирамиды SA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
площади двух соседних боковых граней равны. Докажите, что и площади двух других соседних граней также равны.
Решение. Обозначим \angle ASB=\alpha
, \angle BSC=\beta
, \angle CSD=\gamma
, \angle ASD=\delta
. Из условия задачи следует, что
S_{\triangle ASB}=S_{\triangle BSC}~\mbox{и}~S_{\triangle CSD}=S_{\triangle ASD},
откуда
S_{\triangle ASB}\cdot S_{\triangle CSD}=S_{\triangle BSC}\cdot S_{\triangle ASD},
или
\left(\frac{1}{2}SA\cdot SB\sin\alpha\right)\left(\frac{1}{2}SC\cdot SD\sin\alpha\sin\gamma\right)=\left(\frac{1}{2}SB\cdot SC\sin\beta\right)\left(\frac{1}{2}SA\cdot SD\sin\delta\right).
SA\cdot SB\cdot SC\cdot SD\sin\alpha\sin\gamma=SB\cdot SC\cdot SA\cdot SD\sin\beta\sin\delta.
Значит,
\sin\alpha\sin\gamma=\sin\beta\sin\delta.
Пусть равны площади граней A_{1}SB_{1}
и B_{1}SC_{1}
пирамиды SA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Умножив обе части последнего равенства на произведение всех боковых граней пирамиды SA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, получим, что
SA_{1}\cdot SB_{1}\cdot SC_{1}\cdot SD_{1}\sin\alpha\sin\gamma=SA_{1}\cdot SB_{1}\cdot SC_{1}\cdot SD_{1}\sin\beta\sin\delta,
\left(\frac{1}{2}SA_{1}\cdot SB_{1}\sin\alpha\right)\left(\frac{1}{2}SC_{1}\cdot SD_{1}\sin\gamma\right)=\left(\frac{1}{2}SB_{1}\cdot SC_{1}\sin\beta\right)\left(\frac{1}{2}SA_{1}\cdot SD_{1}\sin\delta\right),
S_{\triangle A_{1}SB_{1}}\cdot S_{\triangle C_{1}SD_{1}}=S_{\triangle B_{1}SC_{1}}\cdot S_{\triangle A_{1}SD_{1}}.
Тогда из равенства первых сомножителей этих произведений, следует равенство вторых, т. е.
S_{\triangle C_{1}SD_{1}}=S_{\triangle A_{1}SD_{1}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2010, № 539, с. 142, 11 класс, задача 4