9786. В тетраэдре ABCD
дано: AB=12
, CD=30
, каждое из остальных рёбер равно 5\sqrt{13}
. Центры двух равных касающихся шаров находятся на отрезке, соединяющим середины рёбер AB
и CD
, причём один шар касается граней двугранного угла тетраэдра с ребром AB
, другой — граней двугранного угла CD
. Найдите радиусы шаров.
Ответ. \frac{5}{3}
или 10
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. В равных равнобедренных треугольниках ABD
и ABC
медианы DM
и CM
являются высотами. Тогда
CM=BM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{25\cdot13-36}=\sqrt{289}=17.
В равных равнобедренных треугольниках BCD
и ACD
медианы BN
и AN
являются высотами. Тогда
AN=BN=\sqrt{BC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{25\cdot13-225}=\sqrt{100}=10.
Отрезок MN
— высота и медиана равнобедренного треугольника CMD
, поэтому
MN=\sqrt{DM^{2}-DN^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{64}=8.
Кроме того DMC
и ANB
— линейные углы двугранных углов тетраэдра при рёбрах AB
и CD
.
Пусть O_{1}
— центр шара радиуса r
, вписанного в двугранный угол при ребре AB
, P
— точка его касания с плоскостью ABC
; O_{2}
— центр шара радиуса r
, вписанного в двугранный угол при ребре CD
, Q
— точка его касания с плоскостью BCD
. Тогда точка P
лежит на луче MC
, а точка Q
— на луче NB
.
Шары вписаны в двугранные углы тетраэдра, поэтому их центры O_{1}
и O_{2}
лежат в биссекторных плоскостях каждого из этих двугранных углов, т. е. в плоскостях ANB
и CMD
. Сечение первого шара плоскостью CMB
— круг с центром O_{1}
радиуса r
, вписанный в угол CMD
, а сечение второго шара плоскостью ANB
— круг с центром O_{2}
радиуса r
, вписанный в угол ANB
. Из прямоугольных треугольников MO_{1}P
и NO_{2}Q
находим, что
MO_{1}=\frac{O_{1}P}{\sin\angle CMN}=\frac{O_{1}P}{\frac{CN}{CM}}=\frac{r}{\frac{15}{17}}=\frac{17r}{15},
NO_{2}=\frac{O_{2}Q}{\sin\angle BNM}=\frac{O_{2}Q}{\frac{BM}{BN}}=\frac{r}{\frac{6}{10}}=\frac{5r}{3}.
Поскольку шары касаются, расстояние между их центрами равно сумме радиусов, т. е. O_{1}O_{2}=2r
. При этом возможны два случая: либо точка O_{1}
лежит между M
и O_{2}
, либо точка O_{2}
лежит между M
и O_{1}
. В первом случае
MN=MO_{1}+NO_{2}+O_{1}O_{2},~\mbox{или}~8=\frac{17r}{15}+\frac{5r}{3}+2r,
откуда r=\frac{5}{3}
. Во втором —
MN=MO_{1}+NO_{2}-O_{1}O_{2}~\mbox{или}~8=\frac{17r}{15}+\frac{5r}{3}-2r,
откуда r=10
.