9787. В двугранный угол, равный 120^{\circ}
, вписаны два касающихся шара радиуса r
. Каждый из двух шаров радиуса x
касается другого, одной грани двугранного угла и обоих шаров радиуса r
. Найдите x
.
Ответ. \frac{3\pm\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры касающихся шаров радиуса r
, O
— центр одного из шаров радиуса x
. Точки O_{1}
и O_{2}
лежат в биссекторной плоскости данного двугранного угла, поэтому расстояния от каждой из них до ребра двугранного угла равно \frac{r}{\sin60^{\circ}}=\frac{2r}{\sqrt{3}}
.
Сечение шаров радиусов r
биссекторной плоскостью данного двугранного угла — касающиеся в некоторой точке L
круги радиусов r
с центрами O_{1}
и O_{2}
, удалёнными от ребра двугранного угла на расстояния O_{1}M=O_{2}N=\frac{2r}{\sqrt{3}}
.
Пусть шары радиуса x
касаются в точке P
. Точка P
лежит в биссекторной плоскости двугранного угла на общей внутренней касательной кругов, проведённой в точке L
. Пусть эта касательная пересекает ребро двугранного угла в точке K
. Тогда
PK=OP\ctg OKP=x\ctg30^{\circ}=x\sqrt{3},
PL=LK-PK=O_{1}M-PK=\frac{2r}{\sqrt{3}}-x\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника OPO_{1}
находим, что
O_{1}P^{2}=OO_{1}^{2}-OP^{2}=(x+r)^{2}-x^{2}=2rx+r^{2}.
Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику PLO_{1}
, получим, что
O_{1}P^{2}=LO_{1}^{2}+PL^{2},~\mbox{или}~2rx+r^{2}=r^{2}+\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}-x\sqrt{3}\right)^{2}~\Leftrightarrow~3x^{2}-6rx+\frac{4}{3}r^{2},
откуда находим, что x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{3}
.