9793. Даны три попарно скрещивающиеся прямые a
, b
и c
. Постройте отрезок с концами на прямых a
и b
соответственно, параллельный прямой c
.
Решение. Пусть \alpha
и \beta
— параллельные плоскости, содержащие прямые a
и b
соответственно (см. задачу 7105). Если прямая c
параллельна этим плоскостям (или лежит в одной из них), то задача не имеет решений, так как любая прямая, параллельная прямой c
и пересекающая прямую a
(или b
), лежит в плоскости \alpha
(или \beta
), и поэтому не может пересекать прямую b
(или a
).
Пусть прямая c
пересекает плоскость \alpha
. Тогда она пересекает и плоскость \beta
, а прямая c'
, параллельная c
и проходящая через точку P
прямой a
, пересекает плоскость \beta
в некоторой точке Q
. Через точку Q
параллельно прямой a
проведём прямую a'
, пересекающую прямую b
в точке Y
, а через точку — прямую, параллельную PQ
и пересекающую прямую a
в точке X
. Тогда XY
— искомый отрезок.
Докажем единственность. Предположим есть ещё один отрезок X_{1}Y_{1}
удовлетворяющий данному условию (точка X_{1}
на прямой a
, точка Y_{1}
на прямой b
). Тогда X_{1}Y_{1}\parallel c\parallel XY
, поэтому прямые X_{1}Y_{1}
и XY
, а значит, и точки X
, X_{1}
, Y
, Y_{1}
лежат в одной плоскости. Тогда в этой плоскости лежат прямые a
и b
, что противоречит условию задачи (a
и b
— скрещивающиеся прямые).
Примечание. Если прямая c
перпендикулярна плоскостям \alpha
и \beta
, получаем теорему о существовании и единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.