9801. Каждое ребро прямой четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно a
. Двугранный угол при ребре AA_{1}
равен 60^{\circ}
. Найдите радиус сферы, проходящей через концы ребра AA_{1}
и касающейся рёбер CB
, CD
, C_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
или продолжений этих рёбер.
Ответ. \frac{a\sqrt{21}}{6}
, \frac{a\sqrt{13}}{2}
.
Решение. Сфера проходит через концы отрезка AA_{1}
, значит, её центр O
лежит в плоскости, проходящей через середину ребра AA_{1}
перпендикулярно этому ребру (см. задачу 8171). Поскольку призма прямая, эта плоскость параллельна основаниям призмы. Кроме того, основания призмы — ромбы со стороной a
и острыми углами 60^{\circ}
, а большие диагонали этих ромбов равны a\sqrt{3}
.
Пусть R
— искомый радиус, r
— радиус окружности сечения сферы плоскостью основания ABCD
, O_{1}
— центр этой окружности. Отрезок OO_{1}
перпендикулярен плоскости ABCD
, а OO_{1}=\frac{a}{2}
. Окружность касается лучей CB
и CD
, поэтому её центр O_{1}
лежит на биссектрисе угла BCD
, т. е. на луче CA
, а центр сферы — в биссекторной плоскости двугранного угла призмы при ребре CC_{1}
.
Пусть M
— точка касания сферы с лучом CB
. Рассмотрим случай, когда точка M
лежит на отрезке BC
. Из прямоугольного треугольника CO_{1}M
находим, что
CO_{1}=2O_{1}M=2r,
поэтому
a\sqrt{3}=AC=CO_{1}C+O_{1}A=2r+r=3r,
откуда r=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Из прямоугольного треугольника OO_{1}M
находим, что
R=OM=\sqrt{OO_{1}^{2}+O_{1}M^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+r^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}.
Если точка M
лежит вне отрезка BC
, то аналогично получим равенство
a\sqrt{3}=AC=CO_{1}-O_{1}A=2r-r=r.
Следовательно,
R=OM=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+3a^{2}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}.