9803. Ребро правильного октаэдра равно a
. Найдите длину заключённого внутри вписанного в октаэдр шара отрезка прямой, проходящей через середины двух скрещивающихся рёбер октаэдра
Ответ. \frac{a\sqrt{15}}{6}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер PA
и QB
правильного октаэдра, являющегося объединением двух равных правильных четырёхугольных пирамид PABCD
и QABCD
, все рёбра которых равны a
, а вершины P
и Q
расположены по разные стороны от плоскости общего основания ABCD
.
Пусть K
— середина ребра AB
. Радиус r
сферы, вписанной в данный правильный октаэдр, равен расстоянию от центра O
квадрата ABCD
до любой его грани, например, до грани APB
, т. е. высоте OL
прямоугольного треугольника POK
, опущенной на гипотенузу PK
. В этом прямоугольном треугольнике известны катеты OK=\frac{a}{2}
, OP=\frac{a\sqrt{2}}{2}
и гипотенуза PK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Значит,
r=OL=\frac{OK\cdot OP}{PK}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.
Отрезки OM
и ON
— медианы равных прямоугольных треугольников AOP
и BOQ
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому
ON=OM=\frac{1}{2}PA=\frac{a}{2}.
Высота OH
равнобедренного треугольника MON
является медианой, значит, H
— середина основания MN
.
Пусть E
— середина ребра CQ
. Отрезок ME
соединяет середины противоположных сторон квадрата APCQ
, поэтому он равен a
, проходит через центр O
квадрата и делится им пополам. Отрезок NE
— средняя линия треугольника BQC
, поэтому NE=\frac{a}{2}
, а отрезок OH
— средняя линия треугольника MNE
, поэтому OH=\frac{1}{2}NE=\frac{a}{4}
.
Пусть отрезок MN
пересекает вписанную сферу данного октаэдра в точках P
и Q
. Тогда точка H
— середина хорды XY
. Из прямоугольного треугольника OHX
находим, что
XY=2XH=2\sqrt{OX^{2}-OH^{2}}=2\sqrt{r^{2}-OH^{2}}=2\sqrt{\frac{a^{2}}{6}-\frac{a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}.