9804. Каждый плоский угол трёхгранного угла равен 60^{\circ}
. Найдите отношение радиусов касающихся сфер, вписанных в этот трёхгранный угол.
Ответ. 1:2
.
Решение. На лучах данного трёхгранного угла с вершиной S
отложим отрезки SA=SB=SC=a
. Тогда SABC
— правильный тетраэдр с ребром a
. Пусть SH
— его высота, а K
— середина ребра AB
. Обозначим \angle KSH=\varphi
. Из прямоугольного треугольника KSH
находим, что
\sin\varphi=\frac{HK}{SK}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры касающихся сфер радиусов r
и R
, вписанных в данный трёхгранный угол. Точки O_{1}
и O_{2}
лежат на прямой SH
, а точки касания с гранями — на биссектрисах плоских углов. Пусть M
и N
— точки касания сфер радиусов соответственно r
и R
с биссектрисой угла ASB
, т. е. с лучом SK
. Рассмотрим сечение трёхгранного угла и сфер плоскостью CSK
. Получим касающиеся внешним образом окружности радиусов r
и R
с центрами O_{1}
и O_{2}
на луче SH
, касающиеся луча SK
в точках M
и N
. Пусть O_{1}F
— перпендикуляр к O_{2}N
. Из прямоугольного треугольника O_{1}O_{2}F
получим, что O_{2}F=O_{1}O_{2}\sin\varphi
, или
R-r=(R+r)\frac{1}{3}~\Leftrightarrow~3R-3r=R+r~\Leftrightarrow~R=2r~\Leftrightarrow~\frac{r}{R}=\frac{1}{2}.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 117, с. 17