9809. Диагональ правильного октаэдра служит осью цилиндра, каждая из окружностей оснований которого касается четырёх граней в их центрах. Найдите отношение объёма цилиндра к объёму октаэдра.
Ответ. \frac{\pi}{9}
.
Решение. Рассмотрим правильный октаэдр как объединение двух правильных четырёхугольных пирамид PABCD
и QABCD
, все рёбра которых равны, с общим основанием ABCD
и вершинами P
и Q
, расположенными по разные стороны от плоскости ABCD
. Окружность одного из оснований цилиндра касается боковых граней пирамиды PABCD
в в их центрах, т. е. в точках, лежащих на апофемах пирамиды, и делящих апофемы в отношении 2:1
, считая от вершины P
. Если все рёбра тетраэдра равны a
, то диаметр окружности, т. е. расстояние между точками её касания с противоположными боковыми гранями пирамиды, из подобия равен двум третям расстояния между серединами противоположных сторон основания, т. е. 2R=\frac{2}{3}a
. Высота цилиндра вдвое больше высоты части цилиндра, расположенной внутри пирамиды, т. е. h=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}
.
Пусть V_{1}
— объём цилиндра, а V_{2}
— объём октаэдра. Тогда
V_{1}=\pi R^{2}h=\pi\cdot\frac{1}{9}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{3}=\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{27},
V_{2}=2\cdot\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{27}}{\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}}=\frac{\pi}{9}.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 177, с. 29