9812. В тетраэдре ABCD
дано: AB=6
, CD=4
, каждое из остальных рёбер равно 7. Ось конуса содержит прямую, проходящую через середины рёбер AB
и CD
, а все вершины тетраэдра лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей и осью конуса.
Ответ. \arctg\frac{1}{6}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Высоты CM
и DM
равных равнобедренных треугольников ABC
и ABD
равны \sqrt{49-9}=\sqrt{40}
, а высота MN
равнобедренного треугольника CMD
равна \sqrt{40-4}=6
. Отрезок MN
— также высота равнобедренного треугольника ACB
, значит, MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Пусть S
— вершина конуса, о котором говорится в условии, а угол между образующей и осью конуса равен \alpha
. Рассмотрим сечения конуса, проведённые через точки M
и N
перпендикулярно оси, т. е. окружности с центрам M
и N
. Опустим перпендикуляр CP
из точки C
сечения с центром N
на диаметр C_{1}D_{1}
сечения с центром M
, перпендикулярный диаметру AB
. Пусть точка P
лежит между M
и C_{1}
\tg\alpha=\angle CC_{1}P=\frac{PC_{1}}{CP}=\frac{MC_{1}-NC}{MN}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}.
Примечание. Если в условии задачи учитывать не только боковую поверхность конуса, но и её продолжение за вершину конуса (вторую полу), то получится ещё одно решение \alpha=\arctg\frac{5}{6}
. В этом случае точка S
будет внутри отрезка MN
.