9813. Основание призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— трапеция ABCD
, у которой основание AD
втрое больше основания BC
, точка M
— середина ребра CC_{1}
. Плоскость ABM
пересекает прямую DD_{1}
в точке N
. Найдите отношение \frac{D_{1}N}{ND}
.
Ответ. 1:3
.
Решение. Пусть прямые AB
и DC
пересекаются в точке E
. В этой точке секущая плоскость пересекает плоскость грани CC_{1}D_{1}D
. Тогда прямая EM
, лежащая в этой плоскости, пересекает прямую DD_{1}
в точке N
.
Пусть CM=b
. Треугольник EDN
подобен треугольнику ECM
с коэффициентом \frac{ED}{EC}=\frac{AD}{BC}=3
, поэтому ND=3CM=3b
, а так как DD_{1}=CC_{1}=2b
, то
D_{1}N=ND-DD_{1}=3b-2b=b.
Следовательно,
\frac{D_{1}N}{ND}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}.