9817. В тетраэдр SABC
вписан цилиндр, ось которого параллельна ребру BC
. Известно, что AB=AC=50
, BC=96
, SC=SB
. Вершина S
тетраэдра удалена от точки A
на расстояние, равное 15, а от прямой BC
— на расстояние, равное 13. Найдите радиус цилиндра, если он относится к высоте цилиндра как 1:8
.
Ответ. 3
.
Решение. Обозначим через r
и h
радиус и высоту цилиндра. Тогда h=8r
. Пусть M
— середина общего основания BC
равнобедренных треугольников ABC
и SBC
. Тогда
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{50^{2}-48^{2}}=\sqrt{2\cdot98}=14.
Пусть SH
— высота тетраэдра. Из условия задачи следует, что точка H
лежит на отрезке AM
. Обозначим MH=x
и с помощью теоремы Пифагора запишем равенство
SM^{2}-MH^{2}=SA^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14-x)^{2},
из которого находим, что MH=x=5
. Тогда AH=9
и SH=12
.
Окружности основания цилиндра вписаны в сечения тетраэдра плоскостями, параллельными плоскости ASH
, причём эти сечения — равные треугольники, а расстояния между их плоскостями равно высоте цилиндра, т. е. 8r
. Пусть A_{1}M_{1}S_{1}
— одно из этих сечений, причём точки A_{1}
, M_{1}
и S_{1}
лежат на отрезках AB
, BM
и BS
соответственно.
Обозначим \angle M_{1}A_{1}S_{1}=\angle AMS=\alpha
и \angle A_{1}M_{1}S_{1}=\angle AMS=\beta
, A_{1}M_{1}=c
. Из прямоугольных треугольников SAH
и SMH
находим, что
\tg\alpha=\frac{12}{9}=\frac{4}{3},~\tg\beta=\frac{12}{5}.
Из уравнений
\tg\alpha=\frac{4}{3}=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}},~\tg\beta=\frac{4}{3}=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}
находим, что
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2},~\tg\frac{\beta}{2}=\frac{2}{3}.
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}M_{1}S_{1}
(окружности основания цилиндра), P
— точка её касания со стороной A_{1}M_{1}
. Тогда
A_{1}P=OP\ctg\frac{\alpha}{2}=2r,~M_{1}P=OP\ctg\frac{\beta}{2}=\frac{3}{2}r.
Значит,
A_{1}M_{1}=A_{1}P+M_{1}P=2r+\frac{3}{2}r=\frac{7}{2}r.
Пусть Q
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B_{1}
на AM
. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
и вписанный в него прямоугольник MM_{1}A_{1}Q
со сторонами
QA_{1}=MM_{1}=\frac{1}{2}h=4a,~MQ=A_{1}M_{1}=\frac{7}{2}r.
Из подобия треугольников A_{1}BM_{1}
и ABM
получаем
\frac{A_{1}M_{1}}{AM}=\frac{BM_{1}}{BM},~\mbox{или}~\frac{\frac{7}{2}r}{14}=\frac{48-4r}{48},~\mbox{или}~\frac{r}{4}=\frac{12-r}{12},
откуда r=3
.