9819. В тетраэдр SABC
вписан цилиндр, ось которого параллельна ребру BC
. Известно, что AB=10
, AC=17
, BC=21
, SA=5
. Ортогональная проекция вершины S
тетраэдра на плоскость основания совпадает с серединой его высоты AD
. Найдите радиус цилиндра, если он относится к высоте цилиндра как 4:21
.
Ответ. 1
.
Решение. Пусть SH
— высота тетраэдра. Обозначим через r
и h
радиус и высоту цилиндра. Тогда h=\frac{21}{4}r
. Обозначим BD=x
и с помощью теоремы Пифагора запишем равенство
AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2},~\mbox{или}~10^{2}-x^{2}=17^{2}-(21-x)^{2},
из которого находим, что BD=x=6
. Тогда
AD=8,~AH=DH=4,~SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3.
Треугольник ASD
равнобедренный, так как его высота является медианой. Значит, \angle SDH=\angle SAH
.
Окружности основания цилиндра вписаны в сечения тетраэдра плоскостями, параллельными плоскости ASD
, причём эти сечения — равные треугольники, а расстояния между их плоскостями равно высоте цилиндра, т. е. \frac{21}{4}r
. Пусть A_{1}D_{1}S_{1}
— одно из этих сечений, причём точки A_{1}
, D_{1}
и S_{1}
лежат на отрезках BA
, BD
и BS
соответственно.
Обозначим \angle D_{1}A_{1}S_{1}=\angle DAS=\angle ADS=\angle A_{1}D_{1}S_{1}=\alpha
. Из прямоугольного треугольника SAH
находим, что \tg\alpha=\frac{SH}{AH}=\frac{3}{4}
. Из уравнения
\tg\alpha=\frac{3}{4}=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
находим, что \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}
.
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}D_{1}S_{1}
(окружности основания цилиндра), P
— точка её касания со стороной A_{1}D_{1}
. Тогда
D_{1}P=A_{1}P=OP\ctg\frac{\alpha}{2}=3r.
Значит, A_{1}D_{1}=6r
.
Пусть A_{2}D_{2}S_{2}
— сечение тетраэдра, в которое вписано второе основание цилиндра, причём точки A_{2}
, D_{2}
и S_{2}
лежат на отрезках AC
, CD
и CS
соответственно, Q
— точка пересечения отрезков A_{1}A_{2}
и AD
. В треугольник ABC
вписан прямоугольник A_{1}A_{2}D_{2}D_{1}
со сторонами A_{1}A_{2}=D_{1}D_{2}=h=\frac{21}{4}r
и A_{2}D_{2}=A_{1}D_{1}=6r
. Из подобия треугольников A_{1}AA_{2}
и BAC
получаем
\frac{A_{1}A_{2}}{BC}=\frac{AQ}{AD},~\mbox{или}~\frac{\frac{21}{4}r}{21}=\frac{8-6r}{8},~\mbox{или}~\frac{r}{4}=\frac{4-3r}{4},
откуда r=1
.