9820. Дан тетраэдр SABC
, в котором AB=AC=10
, BC=12
. Высота тетраэдра проходит через середину высоты AD
основания и равна 4. В тетраэдр вписан равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), ось которого параллельна AD
. Одна из окружностей основания касается граней двугранного угла тетраэдра при ребре BC
, а другая — граней трёхгранного угла с вершиной A
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. \frac{6}{5}
.
Решение. Обозначим через r
и h
радиус и высоту цилиндра. Тогда h=2r
. Пусть SH
— высота тетраэдра. Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
AD=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8,
поэтому AH=HD=4
.
Проведём сечение тетраэдра и цилиндра плоскостью ASD
. Получим равнобедренный треугольника ASD
и квадрат KLMN
с вершинами K
и L
на основании AD
, вершиной M
на боковой стороне SD
и вершиной N
внутри треугольника ASD
. При этом KL=2r
и ML=2r
как высота цилиндра и диаметр окружности основания.
Пусть E
— точка пересечения SH
и MN
. Из подобия треугольников SEM
и SHD
получаем \frac{SE}{SH}=\frac{EM}{HD}
, или \frac{4-2r}{4}=\frac{EM}{4}
, откуда HL=EM=4-2r
. Тогда
KH=KL-HL=2r-(4-2r)=4r-4,~
AK=AD-KH-DH=8-(4r-4)-4=4(2-r).
Через точку K
проведём сечение тетраэдра плоскостью, параллельной прямым SH
и BC
. Получим равнобедренный треугольник B_{1}S_{1}C_{1}
с вершиной S_{1}
на ребре SA
и вершинами B_{1}
и C_{1}
на рёбрах AB
и AC
соответственно. Треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AK}{AD}=\frac{4(2-r)}{8}=\frac{2-r}{2}
, поэтому
B_{1}C_{1}=BC\cdot\frac{2-r}{2}=6(2-r).
Треугольник AS_{1}K
подобен треугольнику ASH
с коэффициентом \frac{AK}{AH}=\frac{4(2-r)}{4}=2-r
, поэтому
S_{1}K=SH\cdot(2-r)=4(2-r).
Окружность основания цилиндра вписана в сечение B_{1}S_{1}C_{1}
, значит, радиус цилиндра — это радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника B_{1}S_{1}C_{1}
с основанием B_{1}C_{1}=6(2-r)
и высотой S_{1}K=4(2-r)
.
Из прямоугольного треугольника S_{1}KB_{1}
находим, что
S_{1}B_{1}=\sqrt{S_{1}K^{2}+B_{1}K^{2}}=\sqrt{16(2-r)^{2}+9(2-r)^{2}}=5(2-r).
Пусть p
— полупериметр треугольника B_{1}S_{1}C_{1}
. Тогда
r=\frac{S_{\triangle B_{1}S_{1}C_{1}}}{p}=\frac{\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot S_{1}K}{p}=\frac{3(2-r)\cdot4(2-r)}{5(2-r)+3(2-r)}=\frac{3}{2}(2-r),
откуда r=\frac{6}{5}
.