9824. Ось цилиндра проходит через центры противоположных граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Боковая поверхность цилиндра касается прямой, проходящей через середины рёбер: 1) AD
и D_{1}C_{1}
; 2) DA_{1}
и D_{1}C_{1}
. Найдите радиус цилиндра и отношение, в котором делится точкой касания образующая цилиндра, проходящая через эту точку.
Ответ. 1) \frac{\sqrt{2}}{4}
, 1:1
; 2) \frac{\sqrt{2}}{4}
, 1:3
.
Решение. Если прямая l
касается боковой поверхности цилиндра, то радиус цилиндра равен расстоянию от оси до прямой l
. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки пересечения одной из прямых с перпендикулярной ей плоскостью до ортогональной проекции второй прямой на эту плоскость (см. задачу 8406).
Пусть O
и O_{1}
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба.
1) Пусть M
и N
— середины рёбер AD
и D_{1}C_{1}
соответственно, K
— ортогональная проекция точки N
на плоскость ABCD
. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми OO_{1}
и MN
равно расстоянию от точки O
до прямой MK
— ортогональной проекции прямой MN
на плоскость ABCD
. Это расстояние равно половине отрезка OD
, т. е. r=\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Пусть L
— точка пересечения OD
и MK
, а P
— точка пересечения прямой, проходящей через точку L
параллельно OO_{1}
, с отрезком MN
. Тогда P
— точка касания боковой поверхности цилиндра с прямой MN
. Отрезок LP
— средняя линия треугольника MKN
, следовательно, NP:PM=1:1
.
2) Пусть M
и N
— середины отрезка DA_{1}
и ребра D_{1}C_{1}
соответственно, K
и E
— ортогональные проекции точек соответственно N
и M
на плоскость ABCD
. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми OO_{1}
и MN
равно расстоянию от точки O
до прямой EK
— ортогональной проекции прямой MN
на плоскость ABCD
. Это расстояние равно половине отрезка OD
, т. е. r=\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Пусть L
— точка пересечения OD
и EK
, а P
— точка пересечения прямой, проходящей через точку L
параллельно OO_{1}
, с отрезком MN
. Тогда P
— точка касания боковой поверхности цилиндра с прямой MN
.
Пусть M_{1}
и L_{1}
— ортогональные проекции точек соответственно M
и P
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда L_{1}
— середина отрезка M_{1}N
, а PL_{1}
— средняя линия треугольника MM_{1}N
. Значит,
PL_{1}=\frac{1}{2}MM_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}EM_{1}=\frac{1}{4}LL_{1}.
Следовательно, L_{1}P:PL=1:3
.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 160, с. 23