9825. Ось цилиндра проходит через центры противоположных граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Боковая поверхность цилиндра касается прямой, проходящей через: 1) середину ребра AD
и точку C_{1}
; 2) середины рёбер AD
и CC_{1}
; 3) точку C
и середину диагонали DA_{1}
грани AA_{1}D_{1}D
. Найдите радиус цилиндра и отношение, в котором делится точкой касания образующая цилиндра, проходящая через эту точку.
Ответ. 1) \frac{\sqrt{5}}{10}
, 2:3
; 2) \frac{\sqrt{5}}{10}
, 1:4
; 3) \frac{\sqrt{5}}{10}
, 3:7
.
Решение. Если прямая l
касается боковой поверхности цилиндра, то радиус r
цилиндра равен расстоянию от оси до прямой l
. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки пересечения одной из прямых с перпендикулярной ей плоскостью до ортогональной проекции второй прямой на эту плоскость (см. задачу 8406).
Пусть O
и O_{1}
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба.
1) Пусть M
— середина ребра AD
. Расстояние между скрещивающимися прямыми OO_{1}
и MC_{1}
равно расстоянию от точки O
до прямой MC
— ортогональной проекции прямой MC_{1}
на плоскость ABCD
. Это расстояние равно перпендикуляру OL
, опущенному из центра O
квадрата ABCD
на прямую CM
.
Из прямоугольного треугольника CDM
находим, что
CM=\sqrt{CD^{2}+DM^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Прямоугольные треугольники OLM
и MDC
подобны с коэффициентом
\frac{OM}{CM}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
поэтому
r=OL=DM\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10},
ML=CD\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5},~CL=CM-ML=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{5}}{10}.
Следовательно,
\frac{LP}{PL_{1}}=\frac{ML}{C_{1}L_{1}}=\frac{ML}{CL}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{5}}{10}}=\frac{2}{3}.
2) Пусть M
и N
— середины рёбер AD
и CC_{1}
соответственно. Расстояние между скрещивающимися прямыми OO_{1}
и MC_{1}
равно расстоянию от точки O
до прямой MC
— ортогональной проекции прямой MC_{1}
на плоскость ABCD
. Это расстояние равно \frac{3\sqrt{5}}{10}
(см. п.1)).
Пусть L
, L_{1}
, M_{1}
— те же точки, что и п.1), P
— точка пересечения прямых MN
и LL_{1}
, а F
— точка пересечения прямых MN
и C_{1}M_{1}
. Из равенства треугольников C_{1}NF
и CNM
следует, что C_{1}F=CM=\frac{\sqrt{5}}{2}
. Значит,
\frac{LP}{PL_{1}}=\frac{ML}{L_{1}F}=\frac{ML}{L_{1}C_{1}+C_{1}F}=\frac{ML}{LC+CM}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{5}}{10}+\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{10}+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3+5}=\frac{1}{4}.
3) Аналогично двум предыдущим пунктам находим, что r=\frac{3\sqrt{5}}{10}
, а LP:PL_{1}=3:7
.