9829. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
с основаниями ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Середины боковых рёбер AA_{1}
и DD_{1}
являются центрами окружностей оснований цилиндра, боковая поверхность которого касается прямой, проходящей через середины отрезков CB_{1}
и FB
. Боковое ребро призмы и меньшая диагональ основания равны 1. Найдите радиус цилиндра и отношение, в котором точка касания делит проходящую через неё образующую.
Ответ. r=\frac{\sqrt{2}}{4}
; 5:3
.
Решение. Если прямая l
касается боковой поверхности цилиндра, то радиус r
цилиндра равен расстоянию от оси до прямой l
. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки пересечения одной из прямых с перпендикулярной ей плоскостью до ортогональной проекции второй прямой на эту плоскость (см. задачу 8406).
Пусть M
и N
— середины боковых рёбер соответственно AA_{1}
и DD_{1}
данной призмы, P
— середина диагонали CB_{1}
грани BB_{1}C_{1}C
, Q
— середина диагонали FB
основания ABCDEF
, K
— ортогональная проекция точки P
на плоскость BB_{1}F_{1}F
, проходящую через центр O
квадрата BB_{1}F_{1}F
перпендикулярно MN
(т. е. K
— середина ребра BB_{1}
(рис. 1).
Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми PQ
и MN
равно длине перпендикуляра OH
, опущенного из точки O
на прямую KQ
— ортогональную проекцию прямой PQ
на плоскость BB_{1}F_{1}F
(рис. 2).
Сечение BB_{1}F_{1}F
— квадрат со стороной 1, а отрезок OH
— четверть его диагонали. Значит, OH=\frac{\sqrt{2}}{4}
. Следовательно, радиус цилиндра равен \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Пусть прямая, проведённая через точку H
параллельно MN
, пересекает отрезок PQ
в точке L
, а прямая, проведённая через точку L
параллельно HO
, пересекает отрезок MN
в точке G
(рис. 3). Тогда OHLG
— прямоугольник, поэтому OG=HL
.
Пусть сторона основания призмы равна a
. Поскольку H
— середина отрезка KQ
, отрезок HL
— средняя линия треугольника PQK
,
OG=HL=\frac{1}{2}PK=\frac{1}{2}cdot\frac{a}{2}=\frac{1}{4}a.
Заметим, что точка G
делит отрезок MN
в том же отношении, что точка касания L
делит образующую цилиндра, проходящую через точку L
. Следовательно, искомое отношение равно
\frac{NG}{GM}=\frac{ON-OG}{OM+OG}=\frac{\frac{3}{2}a-\frac{1}{4}a}{\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a}=\frac{5}{3}.