9839. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
Решение. Пусть прямая a'
— общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым b
и c
, прямая b'
— общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a
и c
, прямая c'
— общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a
и b
. Тогда b\perp a'
и b\perp c'
, значит, прямая b
— общий перпендикуляр к прямым a'
и c'
. Аналогично, прямая c
— общий перпендикуляр к прямым a'
и b'
, а прямая a
— общий перпендикуляр к прямым b'
и c'
.
Примечание. Утверждение остаётся верным, если считать, что общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — это отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный им обеим.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 1.18, с. 10