9841. Центр основания конуса совпадает с центром грани ABCD
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а вершина конуса — с центром противоположной грани. Прямая, проходящая через точку B_{1}
и середину ребра CD
, касается боковой поверхности конуса в точке M
. Найдите радиус основания конуса и отношение, в котором образующая конуса, проходящая через точку M
, делится этой точкой (считая от вершины).
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
; 2:1
.
Решение. Пусть O
и S
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба, т. е. центр основания и вершина конуса, P
— середина ребра CD
. Через точку P
параллельно SB_{1}
проведём прямую, пересекающую ребро BC
в точке K
. Опустим перпендикуляр ON
на PK
. Тогда радиус r
основания конуса равен отрезку ON
(см. задачу 9840).
Отрезок PK
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому ON
— половина OC
, т. е. четверть диагонали AC
квадрата ABCD
. Следовательно,
r=ON=frac{1}{4}AC=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Точка M
лежит в плоскости параллельных прямых SB_{1}
и PN
. Треугольник SMB_{1}
подобен треугольнику NMP
с коэффициентом \frac{SB_{1}}{NP}=\frac{2NP}{NP}=2
. Следовательно, \frac{SM}{MN}=2
.