9842. Центр основания конуса совпадает с центром грани ABCD
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а вершина конуса — с центром противоположной грани. Прямая, проходящая через точку B
и середину ребра C_{1}D_{1}
, касается боковой поверхности конуса в точке M
. Найдите радиус основания конуса и отношение, в котором образующая конуса, проходящая через точку M
, делится этой точкой (считая от вершины).
Ответ. \frac{1}{2}
; 1:1
.
Решение. Пусть O
и S
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба, т. е. центр основания и вершина конуса, P
— середина ребра C_{1}D_{1}
. Пусть N
— середина ребра BC
. Тогда BN\parallel SP
и ON\perp BN
. Значит, радиус r
основания конуса равен отрезку ON
(см. задачу 9840). Следовательно,
r=ON=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.
Точка M
лежит в плоскости параллельных прямых SP
и BN
, причём SP\parallel BN
и SP=BN
, поэтому треугольник SMP
равен треугольнику NMB
. Следовательно, \frac{SM}{MN}=1
.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 248, с. 38