9844. Центр основания конуса совпадает с центром грани
ABCD
единичного куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а вершина конуса — с центром противоположной грани. Прямая, проходящая через середины рёбер
CD
и
BB_{1}
, касается боковой поверхности конуса в точке
M
. Найдите радиус основания конуса и отношение, в котором образующая конуса, проходящая через точку
M
, делится этой точкой (считая от вершины).
Ответ.
\frac{\sqrt{13}}{13}
;
13:3
.
Решение. Пусть
O
и
S
— центры граней соответственно
ABCD
и
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба (рис. 1), т. е. центр основания и вершина конуса,
P
и
Q
— середины рёбер
CD
и
BB_{1}
соответственно,
P_{1}
— середина ребра
C_{1}D_{1}
. Пусть прямые
PQ
и
P_{1}B_{1}
, лежащие в плоскости параллельных прямых
BB_{1}
и
PP_{1}
, пересекаются в точке
E
. Тогда
E
— точка пересечения прямой
PQ
с плоскостью основания
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
куба. Отрезок
QB_{1}
— средняя линия треугольника
EPP_{1}
, поэтому
B_{1}E=B_{1}P
.
Пусть
F
— ортогональная проекция точки
E
на плоскость
ABCD
(рис. 2). Тогда
F
лежит на прямой
BP
, причём
B
— середина
PF
. Пусть прямая, проведённая через точку
P
параллельно
OF
(а значит,
SF
), пересекает отрезок
BC
в точке
L
, а
ON
— перпендикуляр к
PL
. Тогда радиус
r
основания конуса равен отрезку
ON
(см. задачу 9840).
Пусть прямые
PF
и
BC
пересекаются в точке
K
,
FH
— перпендикуляр к прямой
OP
, а прямые
BC
и
FH
пересекаются в точке
T
. Тогда
BK
— средняя линия треугольника
OFP
, поэтому
BK=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{4},~TK=BT-BK=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},~FT=CP=\frac{1}{2}.

Обозначим
\angle CLP=\angle FKT=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{FT}{TK}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{3},~\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}.

Из прямоугольного треугольника
ONP
находим, что
r=ON=OP\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}.

Далее получаем
PN=OP\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{3}{2\sqrt{13}},

SE=OF=2KF=2\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.

Точка
M
лежит в плоскости параллельных прямых
SE
и
PN
. Треугольник
SME
подобен треугольнику
NMP
. Следовательно,
\frac{SM}{MN}=\frac{SE}{PN}=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{3}{2\sqrt{13}}}=\frac{13}{3}.

Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 249, с. 38