9844. Центр основания конуса совпадает с центром грани ABCD
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а вершина конуса — с центром противоположной грани. Прямая, проходящая через середины рёбер CD
и BB_{1}
, касается боковой поверхности конуса в точке M
. Найдите радиус основания конуса и отношение, в котором образующая конуса, проходящая через точку M
, делится этой точкой (считая от вершины).
Ответ. \frac{\sqrt{13}}{13}
; 13:3
.
Решение. Пусть O
и S
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба (рис. 1), т. е. центр основания и вершина конуса, P
и Q
— середины рёбер CD
и BB_{1}
соответственно, P_{1}
— середина ребра C_{1}D_{1}
. Пусть прямые PQ
и P_{1}B_{1}
, лежащие в плоскости параллельных прямых BB_{1}
и PP_{1}
, пересекаются в точке E
. Тогда E
— точка пересечения прямой PQ
с плоскостью основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
куба. Отрезок QB_{1}
— средняя линия треугольника EPP_{1}
, поэтому B_{1}E=B_{1}P
.
Пусть F
— ортогональная проекция точки E
на плоскость ABCD
(рис. 2). Тогда F
лежит на прямой BP
, причём B
— середина PF
. Пусть прямая, проведённая через точку P
параллельно OF
(а значит, SF
), пересекает отрезок BC
в точке L
, а ON
— перпендикуляр к PL
. Тогда радиус r
основания конуса равен отрезку ON
(см. задачу 9840).
Пусть прямые PF
и BC
пересекаются в точке K
, FH
— перпендикуляр к прямой OP
, а прямые BC
и FH
пересекаются в точке T
. Тогда BK
— средняя линия треугольника OFP
, поэтому
BK=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{4},~TK=BT-BK=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},~FT=CP=\frac{1}{2}.
Обозначим \angle CLP=\angle FKT=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{FT}{TK}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{3},~\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Из прямоугольного треугольника ONP
находим, что
r=ON=OP\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}.
Далее получаем
PN=OP\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{3}{2\sqrt{13}},~
SE=OF=2KF=2\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Точка M
лежит в плоскости параллельных прямых SE
и PN
. Треугольник SME
подобен треугольнику NMP
. Следовательно,
\frac{SM}{MN}=\frac{SE}{PN}=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{3}{2\sqrt{13}}}=\frac{13}{3}.