9846. Центр основания конуса совпадает с центром грани ABCD
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а вершина конуса — с центром противоположной грани. Прямая, проходящая через точку C_{1}
и середину ребра DD_{1}
, касается боковой поверхности конуса в точке M
. Найдите радиус основания конуса и отношение, в котором образующая конуса, проходящая через точку M
, делится этой точкой (считая от вершины).
Ответ. r=\sqrt{2}
; 1:1
.
Решение. Пусть O
и S
— центры граней соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
данного куба (рис. 1), т. е. центр основания и вершина конуса, P
— середина ребра DD_{1}
.
Пусть прямые C_{1}P
и CD
, лежащие в плоскости грани CC_{1}D_{1}D
, пересекаются в точке E
. Тогда DE=D_{1}C_{1}=DC=1
. Через точку E
параллельно SC_{1}
(а значит, AC
) проведём прямую и опустим на неё перпендикуляр ON
(рис. 2). Тогда радиус r
основания конуса равен отрезку ON
(см. задачу 9840), т. е.
r=ON=OD+DN=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Точка M
лежит в плоскости параллельных прямых SC_{1}
и EN
. Треугольник SMC_{1}
подобен треугольнику NME
. Следовательно,
\frac{SM}{MN}=\frac{SC_{1}}{NE}=\frac{SC_{1}}{OC}=1.