9847. Центры четырёх шаров радиуса R
находятся в вершинах квадрата со стороной 2R
. Шары касаются боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна стороне квадрата и образует с его плоскостью угол \alpha
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. R(\sqrt{1+\sin^{2}\alpha}\pm1)
.
Решение. Пусть r
— искомый радиус, а r_{0}
— радиус цилиндра с той же осью и с боковой поверхностью, проходящей через центры шаров. Тогда r=r_{0}\pm R
.
Пусть ABCD
— данный квадрат со стороной 2R
. Образующие цилиндра радиуса r_{0}
перпендикулярны прямой AB
, значит, через эту прямую можно провести плоскость, перпендикулярную образующим. Пусть эта плоскость пересекает образующие, проходящие через вершины C
и D
квадрата, в точках C'
и D'
соответственно. Тогда r_{0}
— радиус окружности, описанной около прямоугольника ABC'D'
.
Из условия задачи следует, что \angle BCC'=\alpha
, а так как треугольник BC'C
прямоугольный с прямым углом при вершине C'
, то
BC'=BC\sin\alpha=2R\sin\alpha.
Из прямоугольного треугольника ABC'
находим, что
AC'=sqrt{BC'^{2}+AB^{2}}=\sqrt{4R^{2}\sin^{2}\alpha+4R^{2}}=2R\sqrt{\sin^{2}\alpha+1}.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, поэтому
r_{0}=\frac{1}{2}AC'=R\sqrt{\sin^{2}\alpha+1}.
Следовательно,
r=r_{0}\pm R=R\sqrt{\sin^{2}\alpha+1}\pm R=R(\sqrt{1+\sin^{2}\alpha}\pm1).