9852. Все вершины равнобедренного треугольника, основание которого равно 6, а высота равна 2, лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна основанию треугольника и образует с его плоскостью угол 30^{\circ}
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. 5.
Решение. Пусть ABC
— треугольник с вершинами на боковой поверхности цилиндра с осью l
, причём AC=BC=6
, высота CH=2
, l\perp AB
, а угол между прямой l
и плоскостью ABC
равен 30^{\circ}
. Через прямую AB
проведём плоскость, перпендикулярную прямой l
и рассмотрим ортогональную проекцию цилиндра и треугольника на эту плоскость. Угол между прямой l
и плоскостью ABC
дополняет до 90^{\circ}
угол между плоскостью ABC
и плоскостью проекции. Значит, угол между этими плоскостями равен 60^{\circ}
.
Пусть H
— середина AB
, C'
— ортогональная проекция точки C
на проведённую плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах C'H\perp AB
, поэтому CHC'
— линейный угол рассматриваемого двугранного угла, т. е. \angle CHC'=60^{\circ}
. Тогда
C'H=CH\cos60^{\circ}=2\cdot\frac{1}{2}=1,
BC'=AC'=\sqrt{AH^{2}+C'H^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},
\sin\angle BAC'=\sin\angle HAC'=\frac{C'H}{AC'}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Пусть r
— радиус описанной окружности треугольника AC'B
, т. е. радиус цилиндра. По теореме синусов
r=\frac{BC'}{2\sin\angle B'AC}=\frac{\sqrt{10}}{2\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}}=5.