9853. Все вершины прямоугольника со сторонами 6 и 16 лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна меньшей стороне прямоугольника и образует с его плоскостью угол 30^{\circ}
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. 5.
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольник с вершинами на боковой поверхности цилиндра с осью l
, причём AB=6
и BC=16
, l\perp AB
, а угол между прямой l
и плоскостью ABCD
равен 30^{\circ}
. Через прямую AB
проведём плоскость, перпендикулярную прямой l
и рассмотрим ортогональную проекцию цилиндра и прямоугольника на эту плоскость. Угол между прямой l
и плоскостью ABCD
дополняет до 90^{\circ}
угол между плоскостью ABCD
и плоскостью проекции. Значит, угол между этими плоскостями равен 60^{\circ}
.
Пусть C'
и D'
— ортогональные проекции точек соответственно C
и D
на проведённую плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах D'A\perp AD
, поэтому DAD'
— линейный угол рассматриваемого двугранного угла, т. е. \angle DAD'=60^{\circ}
. Тогда
BC'=AD'=AD\cos60^{\circ}=16\cdot\frac{1}{2}=8,
AC'=BD'=\sqrt{AB^{2}+AD'^{2}}=\sqrt{36+64}=10.
Пусть r
— радиус описанной окружности прямоугольника ABC'D'
, т. е. радиус цилиндра. Тогда
r=\frac{1}{2}AC'=5.