9856. Дан правильный тетраэдр ABCD
с ребром a
. Боковые поверхности двух равных конусов с вершинами A
и D
и высотами AB
и DC
касаются в некоторой точке. Через эту точку проведены сечения конусов, перпендикулярные их осям. Найдите радиусы сечений.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть M
— точка касания боковых поверхностей данных конусов. Тогда образующие конусов, проходящие через эту точку, лежат в общей касательной плоскости к боковыми поверхностям конусов. Поскольку конусы равны, эта плоскость равноудалена от центров B
и C
их оснований, а так как она проходит через точки A
и D
— то это плоскость ADN
, где N
— середина ребра BC
.
Пусть плоскость, проходящая через точку M
перпендикулярно AB
, пересекает AB
в точке O
. Тогда r=OM
— искомый радиус сечения. Угол в осевом сечении конуса, т. е. угол BAN
, равен 30^{\circ}
. Тогда \angle ABM=60^{\circ}
. Следовательно,
r=OM=BM\sin\angle ABM=BM\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 261, с. 38