9857. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
. Боковые поверхности двух равных конусов с вершинами A
и D_{1}
и высотами AC
и D_{1}B_{1}
касаются в некоторой точке. Через эту точку проведены сечения конусов, перпендикулярные их осям. Найдите радиусы сечений.
Ответ. \frac{a\sqrt{6}}{4}
.
Решение. Пусть M
— точка касания боковых поверхностей данных конусов. Тогда образующие конусов, проходящие через эту точку, лежат в общей касательной плоскости к боковыми поверхностям конусов. Поскольку конусы равны, эта плоскость равноудалена от центров C
и B_{1}
их оснований, а так как она проходит через точки A
и D_{1}
— то это плоскость ABC_{1}D_{1}
.
Пусть N
— центр грани BCC_{1}B_{1}
, а плоскость, проходящая через точку M
перпендикулярно AC
, пересекает AC
в точке O
. Тогда r=OM
— искомый радиус сечения. Угол в осевом сечении конуса, т. е. угол CAN
равен 30^{\circ}
, так как
CN=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}AC.
Тогда \angle ACM=60^{\circ}
. Следовательно,
r=OM=CM\sin\angle ACM=CM\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}AC\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.