9858. Вершина конуса совпадает с вершиной правильного октаэдра, ось конуса содержит диагональ октаэдра, а окружность основания касается четырёх граней октаэдра в их центрах. Найдите отношение объёмов конуса и октаэдра.
Ответ. \frac{\pi}{27}
или \frac{2\pi}{27}
.
Решение. Рассмотрим правильный октаэдр как объединение двух правильных четырёхугольных пирамид PABCD
и QABCD
с равными рёбрами, где вершины P
и Q
симметричны относительно плоскости квадрата ABCD
. Пусть P
— вершина конуса, ось которого содержит диагональ PQ
, а окружность основания касается боковых граней пирамиды PABCD
или QABCD
в их центрах.
Пусть AB=a
, PQ=2h
, r
— радиус основания конуса. Окружность основания конуса подобна вписанной окружности квадрата ABCD
с коэффициентом \frac{2}{3}
, значит,
r=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}a=\frac{1}{3}{a}.
Из подобия также получаем, что высота конуса равна либо \frac{2}{3}h
(если окружность основания конуса касается боковых граней пирамиды PABCD
), либо h+\frac{1}{3}h=\frac{4}{3}h
(если окружность основания конуса касается боковых граней пирамиды QABCD
).
В первом случае
V_{\mbox{конуса}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot\frac{2}{3}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{1}{9}a^{2}\cdot\frac{2}{3}h=\frac{2}{81}\pi a^{2}h,
во втором
V_{\mbox{конуса}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot\frac{4}{3}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{1}{9}a^{2}\cdot\frac{4}{3}h=\frac{4}{81}\pi a^{2}h,
а так как
V_{\mbox{октаэдра}}=2V_{PABCD}=2\cdot\frac{1}{3}\cdot a^{2}h=\frac{2}{3}\pi a^{2}h.
Следовательно, либо
\frac{V_{\mbox{конуса}}}{V_{\mbox{октаэдра}}}=\frac{\frac{2}{81}\pi a^{2}h}{\frac{2}{3}\pi a^{2}h}=\frac{\pi}{27},
либо
\frac{V_{\mbox{конуса}}}{V_{\mbox{октаэдра}}}=\frac{\frac{4}{81}\pi a^{2}h}{\frac{2}{3}\pi a^{2}h}=\frac{2\pi}{27}.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 265, с. 39