9861. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, а высота пирамиды проходит через точку внутри основания и равна 24. В пирамиду вписан куб, одна грань которого расположена в плоскости основания пирамиды, противоположная грань вписана в сечение пирамиды, а остальные грани параллельны катетам основания. Найдите ребро куба.
Ответ. 3.
Решение. Обозначим искомое ребро куба через x
. Пусть грань ABCD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
расположена в плоскости основания KLM
треугольной пирамиды KLMN
, где KLM
— прямоугольный треугольник с катетами KL=6
и LM=8
, грань A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, т. е. в треугольник K_{1}L_{1}M_{1}
, подобный треугольнику KLM
с коэффициентом k=\frac{24-x}{24}
, причём точка L_{1}
совпадает с A_{1}
, точки B_{1}
и D_{1}
лежат на катетах L_{1}M_{1}
и L_{1}K_{1}
соответственно, точка C_{1}
— на гипотенузе K_{1}M_{1}
,
K_{1}L_{1}=kKL=\frac{24-x}{24}\cdot6=\frac{24-x}{4},~L_{1}M_{1}=kLM=\frac{24-x}{3}.
Треугольники K_{1}D_{1}C_{1}
и KLM
подобны, поэтому
\frac{K_{1}D_{1}}{D_{1}C_{1}}=\frac{K_{1}L_{1}}{L_{1}M_{1}}=\frac{3}{4},~\mbox{или}~\frac{\frac{24-x}{4}-x}{x}=\frac{3}{4},
откуда x=3
.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 57, с. 11