9862. Рёбра AB
и CD
тетраэдра ABCD
перпендикулярны друг другу и прямой, проходящей через середины M
и N
этих рёбер. Прямая MN
— ось вписанной в тетраэдр правильной четырёхугольной призмы. Найдите объём призмы, если:
1) AB=CD=8
, MN=4
, а высота призмы втрое больше стороны основания;
2) AB=2
, CD=MN=4
, а высота призмы равна стороне основания.
Ответ. 1) 3; 2) 1.
Решение. 1) Рассмотрим ортогональную проекцию тетраэдра и призмы на плоскость ANB
. Эта плоскость перпендикулярна прямой CD
, поэтому проекции точек C
и D
совпадают с N
, а проекция призмы — прямоугольник XYZT
с вершинами X
и Y
на отрезках AN
и BN
сторонами XY
и YZ
, параллельными AB
и MN
соответственно (рис. 1).
Пусть P
и Q
— точки пересечения MN
с отрезками XY
и ZT
соответственно, а сторона основания призмы равна x
. Тогда её высота PQ
равна 3x
. Из подобия треугольников XNY
и ANB
получаем \frac{NP}{NM}=\frac{XY}{AB}
, или \frac{NP}{4}=\frac{x}{8}
, откуда NP=\frac{1}{2}x
.
Аналогично, рассматривая ортогональную проекцию на плоскость CMD
(рис. 2), получаем, что QM=\frac{1}{2}x
, а так как MN=QM+PQ+PN
, или 4=\frac{1}{2}x+3x+\frac{1}{2}x
, находим, что x=1
. Следовательно,
V_{\mbox{призмы}}=x^{2}\cdot3x=3.
2) Аналогично, рассматривая ортогональные проекции тетраэдра и призмы на плоскости ABN
и CMD
(рис. 3 и 4), получим, что NP=2x
и MQ=x
, а так как в этом случае PQ=x
, то 4=2x+x+x
, откуда x=1
. Следовательно,
V_{\mbox{призмы}}=x^{2}\cdot x=1.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 59, с. 12