9863. Шар касается основания и боковых рёбер правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 1 и боковым ребром, равным диагонали основания. Найдите величину части поверхности пирамиды, заключённой внутри шара.
Ответ. \frac{2\pi}{7}
.
Решение. Пусть SABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S
, SH
— высота пирамиды, O
— центр шара, касающегося основания и боковых рёбер, M
— точка касания с ребром SA
, AB=1
, SA=AC=\sqrt{2}
.
Шар касается плоскости основания пирамиды в точке H
— центре квадрата ABCD
. Пусть R=OH=OM
— его радиус. Точка O
лежит на высоте SH
, а R
— радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной \sqrt{2}
. Значит, M
— середина стороны SA
, поэтому SM=\frac{\sqrt{2}}{2}
.
Пусть O_{1}
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на высоту SK
грани ASB
. Тогда OO_{1}
— перпендикуляр к плоскости ASB
, а r=O_{1}M
— радиус круга, который получается в сечении исходного шара с этой плоскостью.
Обозначим \angle SO_{1}M=\angle SAK=\alpha
. Из прямоугольного треугольника SAK
находим, что
\cos\alpha=\frac{AK}{SA}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Тогда
\tg\alpha=\sqrt{7},~r=O_{1}M\ctg\angle SO_{1}M=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{7}=\frac{1}{\sqrt{14}}.
Пусть площадь круга радиуса R
равна S
. Тогда величина части поверхности пирамиды, заключённой внутри шара, равна
4S=4\cdot\pi r^{2}=4\pi\cdot\frac{1}{14}=\frac{2\pi}{7}.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 92, с. 15